Istoriya.v.ua

Модуль – одне з фундаментальних понять математики, що дозволяє глибше зрозуміти суть числа. Давайте розберемося, що таке модуль, звідки з'явилося це поняття як і воно застосовується практично.

Визначення та історія виникнення поняття модуля

Формальне визначення модуля числа виглядає так:

Таким чином, модуль перетворює негативні числа на позитивні, а позитивні залишає без змін. Це тісно пов'язані з поняттям абсолютної величини. Термін "модуль" у математику ввів Лейбніц у 17 столітті.

Крім чисто математичного значення, модуль широко використовується у фізиці. Наприклад, модуль швидкості показує її величину без зазначення напряму.

Є й наочна геометрична інтерпретація модуля на числовій прямій: модуль числа a – це відстань від початку координат до точки a.

Розглянемо кілька простих прикладів обчислення модулів чисел:

Основні властивості модуля

Модуль має низку корисних властивостей, основні з яких перераховані нижче:

1. Модуль будь-якого числа невід'ємний: | ≥ 0
2. |0| = 0
3. Якщо a? 0, то |a| = a
4. Якщо a<0, то |a| = -a
5. |-a| = |
6. |-1| = 1

Також справедливі такі співвідношення:

модуль в математиці – напрочуд корисне поняття, що дозволяє вирішувати багато важливих завдань. Давайте тепер перейдемо до модуль в математиці це практичне знаряддя для вирішення рівнянь та нерівностей.

Застосування модуля для розв'язання рівнянь та нерівностей

Розглянемо найпростіше лінійне рівняння із модулем: |x| = 5. Графічно його рішення можна так:

Бачимо, що рівняння має два розв'язки: x = -5 та x = 5, оскільки модулі цих чисел дорівнюють 5.Аналогічно можна інтерпретувати і складніші рівняння з модулем.

За розв'язання нерівностей типу |f(x)| > a потрібно розкрити модуль і отримати дві нерівності – окремо для позитивних та негативних значень f(x). Цей прийом дозволяє знайти усі рішення.

У таблиці нижче наведено найбільш поширені типи рівнянь та нерівностей з модулем та алгоритми їх розв'язання:

Давайте тепер детальніше розберемо деякі типові завдання на рівняння та нерівності з модулем.

Приклад розв'язування рівняння з модулем першого ступеня

Розглянемо рівняння: | 2x – 5 | = 7. Відповідно до алгоритму з таблиці:

Вирішення нерівності з модулем, що містить змінну під знаком модуля

Вирішимо нерівність: | 2x + 1 | ≥ 5.

Рівняння з модулем, що містить дробово-раціональну функцію

Розглянемо рівняння: |(x – 1)/(x + 2)| = 2.

Застосовуємо стандартний алгоритм:

1. (x – 1) / (x + 2) = 2;
2. (x – 1) / (x + 2) = -2;
3. Вирішуємо отримані рівняння;
4. Об'єднуємо рішення: x1 = -3; x2 = 5.

Нестрога нерівність з модулем

Розглянемо сувору нерівність: | 2x + 1 | ≤ 4.

Алгоритм розв'язання той самий, що й для суворих нерівностей:

Система рівнянь, що містить модуль

Для початку розкриємо модулі в першому рівнянні, потім розв'яжемо систему як звичайно: підставимо y з другого рівняння в перше. Отримаємо значення x та y.

Рівняння, що містить модуль суми

Розглянемо рівняння виду: | x + y | = 10. Тут під знаком модуля стоїть сума двох змінних. Для вирішення такого рівняння можна скористатися наступним прийомом:

1. Розіб'ємо рішення на два випадки: x + y позитивно чи негативно;
2. Якщо x + y ≥ 0, то за якістю модуля | x + y | = x + y. Підставляючи цей вираз у вихідне рівняння, отримаємо: x + y = 10;
3. Якщо ж x + y < 0, то | x + y | = -(x + y). Звідси x + y = -10.

Вирішуючи отримані рівняння, знайдемо значення x та y.

Нерівність із подвійним модулем

1. Спочатку розкриваємо внутрішній модуль;
2. Потім зовнішній, для позитивних та негативних значень виразу всередині нього;
3. Об'єднуємо всі отримані рішення.

Ірраціональне рівняння з модулем

Розглянемо ірраціональне рівняння виду: |√x + 3| = 4. У таких рівняннях спочатку слід оцінити знак виразу під модулем. Якщо під коренем стоїть змінна, знак залежить від її значення.

Рішення в загальному випадку зводиться до двох квадратних рівнянь, які потрібно вирішити та поєднати отримані корені.

Застосування модуля в оптимізаційних задачах

Модуль часто використовується в задачах оптимізації, наприклад, при знаходженні найменшого або найбільшого значення деякої функції на заданому проміжку.

Суть у тому, що модуль функції невід'ємний, тому мінімізувати чи максимізувати потрібно саме модуль, а потім розібрати позитивний та негативний випадки.

Модульні сітки – один з головних інструментів дизайнера. Цей матеріал для тих, хто хоче самостійно розібратися в типах модульних сіток, вибрати оптимальний інструмент для роботи з ними та дізнатися про нові тренди в цьому напрямку.

освойте професію
UX/UI-дизайнер з нуля
за 9 тижнів

Що таке модульні сітки

Модульна сітка — система відстаней та відступів, які поділяють сторінку на модулі.Модульна сітка визначає, де і як розташовуватимуться елементи вашого дизайну: текст, зображення, кнопки і так далі.

Навіщо потрібна модульна сітка?

• Заощаджує час на роботу з елементами сторінки та шрифтами
• Полегшує пошук місця для будь-якого елемента та визначення відстаней від одного елемента до іншого
• Допомагає швидко зробити адаптивний дизайн сторінки для багатьох форматів
• Робить дизайн більш чистим та гармонійним

Стати графічним дизайнером, навчаючись на реальних завданнях

З історії питання

Модульними сітками люди почали користуватися задовго до винайдення інтернету. Спроби підкріпити інтуїтивне почуття пропорції суворими математичними розрахунками характерні всім культур і часів.

Сітки на основі золотого перерізу використовувалися архітекторами та художниками, а після винаходу друкарської машини Гуттенберга перекочували і у сферу друкарства.

Наприклад, перша друкарська секція за авторством італійського математика Луки Пачолі та Леонардо да Вінчі була складена ними для трактату «Про божественну пропорцію» на основі модулів.

Модульні сітки використовувалися для забудови цілих міст. Наприклад, усім відома курортна Анапа, яка була майже зруйнована після Великої Вітчизняної війни, відбудовувалася заново відповідно до суворої ортогональної сітки.

Справжній розквіт модульних систем настав у п'ятдесятих-шістдесятих роках, коли їх почали активно використовувати для журналів та газет. Це мало не лише естетичний, а й практичний характер — завдяки сіткам матеріали можна було стандартизувати, заощадити місце на сторінці та скоротити час на оформлення (все це, втім, працює і зараз для веб-дизайну).

У п'ятдесятих роках Йозеф Мюллер-Брокман та Карл Герстпер активно працювали над сітками для друкованих матеріалів, завдяки чому вивели швейцарський дизайн в авангард візуальних мистецтв та розпочали новий напрямок у поліграфії. Цей стиль відрізняє гранично строга естетика та системність у використанні візуальних елементів.

У своїй книзі «Модульні системи у графічному дизайні» Мюллер-Брокман сформулював основи роботи з модульними системами. Ця книга стала фундаментальною, і багато з того, що було винайдено Мюллером-Брокманом, досі використовується у дизайні.

Які бувають сітки

На даний момент існує безліч видів сіток, ми розглянемо основні.

Колончаста сіткаЯк видно з назви, ділить сторінку на кілька колонок. Чим більше на сторінці колонок – тим вища її гнучкість, і це треба розуміти при розробці дизайну з великою кількістю елементів.

Колончасто-горизонтальна сітка майже не відрізняється від попередньої, але в ній присутні горизонтальні лінії.

Модуль – Це те, що утворюється на перетині вертикальних і горизонтальних ліній. Модуль служить відправною точкою для всіх габаритів у вашому макеті. Якщо ви, наприклад, вибираєте розмір зображення для макета, він повинен бути кратний модулю. На перетині міжколоночних відстаней утворюється мікромодуль, і це найменша неподільна величина у вашому макеті.

Існує і так звана "шрифтова" сітка. Це явище перекочувало до Інтернету з графічного дизайну та поліграфії. Шрифтова сітка складається з горизонтальних ліній – рядків (як у шкільному зошиті). Вона стане в нагоді, коли ви працюєте з текстом і шукаєте оптимальний міжрядковий інтервал.

Червоним кольором відзначено модуль, а зеленим – мікромодуль.

професія | 20 місяців

графічний дизайнер з нуля до про

Стати дизайнером, який потрібен у маркетингу, PR, IT. Дамо не лише знання, а й реальний досвід у професії

Модульні сітки використовуються скрізь

Модульні сітки – інструмент не тільки для digital, але й для роботи з будь-яким візуальним матеріалом. За допомогою сітки можна побудувати композицію фотокадра, журнальної сторінки або літер у логотипі.

Модульна сітка допомагає дотримуватися правила третьої при композиції кадру в кіно.

Що стосується айдентики, логотип Twitter також будується на основі модулів, проте вони не звичайної квадратної форми, а круглі. На основі модулів виконано і логотип Apple. Редизайн логотипу німецького концерну Braun також зроблено на основі сітки.

Як розрахувати сітку?

Вираховувати сітку самостійно на даний момент не має жодного сенсу. У мережі ви знайдете безліч калькуляторів сіток, наприклад:

У такі інструменти як Sketch і Figma сітки вже вбудовані в редактор. Також є спеціальні плагіни для графічних редакторів. Наприклад, плагіни для Adobe Photoshop та Adobe Illustrator.

Чи користуєтеся ви вже вбудованими сітками або розраховуєте окремо — не так важливо це просто інструмент для вашої роботи.

Система сіток – це частина дизайн-системи продукту

Дизайн-система – це збірка правил, обмежень та принципів, реалізованих у дизайні та коді. Дизайн-система допоможе зробити з додатка готове крос-платформне рішення або сайт, не втративши впізнаваності та не зайнявши багато часу на рутинну роботу з вивірення елементів.

Проте, дизайн-системами можуть користуватися не лише власники продуктів чи медіа, а й агенції з багатьма клієнтами.Наприклад, французьке дизайн-агентство Area 17 опублікували великий гайд, де поділилися власноруч розробленою дизайн-системою.

Area17 жорстко дотримуються принципу 5×5 px — будують усі макети на основі мікромодуля шириною 5 px. Як не дивно, це допомагає працювати з макетами щоразу по-різному, зберігаючи свій стиль.

Московська студія Charmer, що спеціалізується на дизайні медіа-просторів (за їх авторством – сайти Афіші, Медузи та Відомостей), також дотримуються цього принципу. Це допомагає розробляти дизайн для постійно оновлюваних майданчиків із безліччю матеріалів.

«Рамблер», що оновився минулого року, не тільки змінився зовні, а й придбав виразну дизайн систему, якою продуктова команда сервісу поділилася з усіма бажаючими. Ця система теж побудована за принципом 5×5 px.

Ще один популярний підхід – система «парного модуля». У цій системі сітка складається з двох, чотирьох-або восьмипіксельних колон. На основі "парного модуля" була розроблена дизайн-система продуктів Google – знаменитий "Material Design". Ця система враховує роботу всіх елементів сторінки або програми, аж до анімації, і лягла в основу багатьох продуктів і сайтів по всьому світу.

Компанія VK Group використовує свою дизайн-систему Paradigm, яка будується на основі «парного модуля».

Тренди у модульних системах

Зламана сітка

На сьогоднішній день це один з найбільш популярних підходів до створення сайту.

Приклад використання зламаної сітки на сайті www.dada-data.net

Діагональні сітки

Після трендом на зламану сітку з'явився тренд направляти «горизонталь» по діагоналі. Це, як і раніше, виглядає свіжо і відзначається багатьма порталами як один із головних трендів 2018 року.Подивіться, як зміна кута всього на десять градусів змінює візуальне сприйняття сторінки:

Приклад використання діагональної сітки на веб-сайті stripe.com

Розділений екран

Далеко не новий, але все ще актуальний тренд базується на розділенні екрана та основного зображення на дві зони. Тут можна подивитися, як розділений екран працює не лише із зображенням, а й скролом на сторінці.

Приклад роботи з розділеним екраном на сайті www.jaunedechrome.com

Не все сказане треба заучувати напам'ять, але важливо розуміти глобальний принцип сітки — системи, навколо якої вибудовуються всі елементи вашого дизайну. Гнучкість, пропорційність, гармонійність – все це легко привнести в свій дизайн, навчившись правильно працювати з модульними сітками.

професія графічний дизайнер з нуля до про

Маркетинг, PR, IT – ми не знаємо, яку сферу ви оберете, коли станете графічним дизайнером. Але знаємо, що ви зможете ним стати, здобувши реальний досвід. Той, що оцінять роботодавці

У світі математики існує безліч понять, які відіграють важливу роль у вирішенні різних завдань та проблем. Одним із таких понять є модуль. Цей термін часто зустрічається у математичних дисциплінах, а й у інших галузях знань. Щоб розібратися, що це за слово і як воно використовується, погляньмо на його сутність і значення.

Модуль – це поняття, яке можна зустріти як у математиці, і у інших науках. У математиці модуль визначається як відстань від числа до нуля на числовій прямій без урахування знака. Це дозволяє розглядати число як позитивне значення незалежно від його вихідного знака.Такий підхід спрощує роботу з числами та робить їх порівняння більш легким та зручним.

Слід зазначити, що поняття модуля широко застосовується у математиці, а й у інших галузях знань. Наприклад, у програмуванні модуль може означати окрему частину програми з певними функціями та можливостями. У фізиці модуль використовується для вимірювання величин без урахування напряму. Таким чином, знання про модуль може стати у нагоді не тільки студентам математичних факультетів, але й усім, хто цікавиться наукою та технікою.

Визначення та основні характеристики модуля

У математиці модуль є важливою характеристикою числа, що дозволяє визначити його відстань до нуля на числовій осі. Модуль числа завжди невід'ємний і дорівнює цьому числу, якщо воно позитивне, або протилежне даному числу, якщо воно негативне. Таким чином, модуль числа є його абсолютним значенням без урахування знака.

Однією з основних властивостей модуля і те, що дозволяє спростити різні математичні операції, такі як порівняння чисел, знаходження відстані між ними, вираз функцій тощо. Завдяки модулю можна також визначити параметри системи чи структури, поділяючи їх у незалежні блоки чи частини.

Різноманітність видів та функціональне призначення модулів

У світі математики та інформаційних технологій слово "модуль" займає особливе місце, позначаючи певну кількість або елемент, що має своє власне визначення та значущість. Модулі розрізняються за своєю функціональністю та застосуванням, даючи можливість використовувати їх у різних областях.

Числові модулі – один з різновидів, що являють собою математичне поняття, що використовується для спрощення обчислень та роботи з числами.Вони можуть бути як позитивними, так і негативними, і відіграють важливу роль у вирішенні різних завдань.

Модулі в інформаційних технологіях – ще один вид, який широко застосовується у розробці програмного забезпечення. Вони допомагають упорядкувати код, розділити його на частини та повторно використовувати вже написаний функціонал.

Функціональні модулі – невід'ємна частина мов програмування, що дозволяє створювати незалежні блоки коду до виконання певних завдань. Їх використання робить програми більш структурованими та легкими у підтримці.

Таким чином, різноманітність видів та функціональне призначення модулів дозволяють ефективно використовувати їх у різних галузях, від математики до інформаційних технологій, полегшуючи обчислення, управління даними та розробку програмного забезпечення.

Переваги використання модулів у розробці програмного забезпечення

• Збільшення продуктивності. Розбиття програми на модулі дозволяє скоротити час розробки та спрощує підтримку коду. Кожен модуль може бути розроблений та тестований незалежно від інших, що робить процес розробки більш ефективним.
• Повторне використання коду. Модулі можна легко використовувати в різних проектах або в різних частинах одного проекту. Це допомагає скоротити обсяг роботи та збільшити швидкість розробки нового програмного забезпечення.
• Поліпшення структури програми. Використання модулів дозволяє розбити програму на логічні блоки, що спрощує читання та розуміння коду. Кожен модуль виконує певне завдання, що робить програму більш організованою та легкою у супроводі.
• Підвищення надійності та безпеки.Поділ програми на модулі дозволяє ізолювати помилки та вразливості, що підвищує безпеку та стійкість програмного забезпечення. Також це полегшує тестування та налагодження коду.

Використання модулів у розробці програмного забезпечення є незамінним інструментом для підвищення продуктивності, покращення структури коду, підвищення надійності та безпеки програми. Модулі спрощують розробку, зменшують час розробки та полегшують супровід програмного забезпечення.

Приклади відомих модульних систем у сучасних технологіях

Однією з найпопулярніших модульних систем у сучасних технологіях є ECMAScript модулі, які широко використовуються у розробці веб-додатків із використанням JavaScript. Вони дозволяють організувати код програми на окремі модулі та імпортувати необхідні функції та змінні з інших модулів.

Ще одним прикладом модульної системи є модульна математика в Python, яка дозволяє легко імпортувати різні математичні функції та методи зі стандартної бібліотеки мови. Це робить програмування на Python зручнішим і ефективнішим, оскільки розробнику не потрібно писати всі функції самостійно, а можна використовувати готові модулі.

Визначення модуля в сучасних технологіях Вікіпедії виглядає як організована колекція даних або функціональних одиниць, яка служить для виконання певної функції або вирішення певної задачі. Модулі можуть використовуватися в різних галузях програмування та допомагають розробникам покращити організацію та структуру свого коду.

Способи включення компонентів до проекту та їх взаємозв'язок

• Включення модулів у проект: Існує кілька способів підключення модулів до проекту, залежно від особливостей мови програмування, що використовується. Один з них – використання директиви import або require , яка вказує компілятор на необхідність включення певного модуля в код програми.
• Залежність модулів: Коли один модуль вимагає доступу до функціональності іншого, він стає залежним від нього. Це означає, що для коректної роботи програми необхідно підключити всі необхідні залежності.
• Взаємодія між модулями: Один із способів взаємодії між модулями – передача даних або виклик функцій інших модулів через інтерфейси, що експортуються. Це дозволяє модулям працювати разом обмінюючись необхідною інформацією.

Створення унікального модуля та його впровадження у проект

Коли ми говоримо про створення власного модуля, ми маємо на увазі можливість додати до проекту щось унікальне, що служитиме певній меті або вирішить певне завдання. Цей процес вимагає як технічного розуміння, а й творчого підходу.

Для початку необхідно визначити, що саме повинен робити ваш модуль – це може бути щось пов'язане з математикою, роботою з базами даних або навіть просто додавання цікавої функціональності. Поверхневе знання теми можна отримати зі статей у Вікіпедії чи інших джерел.

Далі необхідно вибрати назву модуля – це слово або фраза, яке буде символом вашої творчості. Назва має бути лаконічною, що запам'ятовується і відображати суть вашого модуля.

Після цього починається технічна частина – написання коду модуля. Тут важливо дотримуватись принципів чистого коду, використовувати модульну архітектуру та забезпечити можливість взаємодії з іншими частинами проекту.

І, нарешті, важливим етапом є інтеграція вашого модуля до проекту. Це може вимагати зміни вихідного коду, налаштування залежностей або навіть створення спеціальної документації для використання модуля іншими розробниками.

Принципи, які допоможуть вам стати продуктивнішим програмістом

Розбивайте свою програму на модулі: розділіть свій код на невеликі окремі модулі, кожен із яких відповідає за певну функцію чи завдання. Це спростить налагодження та забезпечить легке масштабування програми.

Використовуйте чітку структуру: організуйте ваші модулі так, щоб вони були легко зрозумілі та зручні для використання іншими розробниками. Документуйте код, щоб будь-який розробник міг швидко зрозуміти, що робить кожен модуль.

Уникайте дублювання коду: якщо у вас є код, що повторюється, винесіть його в окремий модуль і використовуйте його в інших частинах програми. Це заощадить вам час та зменшить ймовірність помилок.

Вивчайте принципи модульного програмування практично: для більш глибокого розуміння методології модульного програмування використовуйте їх у реальних проектах. Переглядайте приклади з відкритих вихідних кодів, вивчайте обговорення на форумах та вікіпедії.

Перспективи розвитку компонентних систем та їх вплив на сучасну програмну інженерію

• Вікіпедія відносить модуль до базових понять у програмуванні, підкреслюючи його роль організації коду і спрощення його підтримки.
• Розвиток модульних систем обумовлено прагненням до підвищення гнучкості та масштабованості програмних продуктів. Модульність дозволяє створювати більш надійні системи, що легко змінюються.
• Сучасні тенденції в розробці ПЗ приділяють особливу увагу мікросервісної архітектури, в якій кожен модуль є окремим сервісом, що забезпечує виконання конкретної задачі.
• Вплив модульних систем на сучасну розробку ПЗ виявляється у збільшенні швидкості розгортання нових функціональностей, а також полегшенні роботи над великими проектами завдяки можливості паралельної розробки різних модулів.