Завдання виділення повного квадрата полягає у перетворенні квадратного багаточлена таким чином:
де і невідомі параметри, які потрібно визначити.
Для визначення невідомих параметрів і , перетворимо наведену вище рівність таким чином:
і далі, розкриємо дужки:
Для того, щоб наведена вище рівність дотримувалася, прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях:
В отриманій системі рівнянь перше рівняння позначає правильну тотожність при будь-яких значеннях параметра , тому його можна виключити. З другого рівняння виражаємо параметр і підставляємо отриманий вираз третє рівняння системи:
Спрощуємо третє рівняння системи та виразом з нього значення параметра:
Підставляємо отримані значення і в перше рівняння і отримуємо формулу для виділення повного квадрата із квадратного багаточлена:
Необхідність виділення повного квадрата часто виникає під час вирішення завдань інтегрування раціональних функцій. Крім того, виділивши повний квадрат, можна отримати формулу для розв'язання квадратних рівнянь.
Наш онлайн калькулятор виділяє повний квадрат для багаточлена другого ступеня з описом детального ходу рішення російською мовою.
Повний квадрат, або квадратне число, – Число, що є квадратом деякого цілого числа. Іншими словами, квадратом є ціле число, квадратний корінь з якого витягується націло. Геометрично таке число може бути представлене у вигляді площі квадрата з цілою стороною.
Наприклад, 9 – це квадратне число, так як воно може бути записане у вигляді 3 × 3, а також представляє площу квадрата зі стороною, що дорівнює 3.
Квадратне число входить до категорії класичних фігурних чисел.
Пов'язані поняття
Гранична точка множини в загальній топології – це така точка, будь-яка проколота околиця якої перетинається з цією множиною.
У математичному аналізі, і прилеглих розділах математики, обмежена множина — множина, яка у певному сенсі має кінцевий розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково впорядкованої множини. Поняття обмеженості безлічі немає сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.
Впорядковане поле — поле алгебри, для всіх елементів якого визначено лінійний порядок, узгоджений з операціями поля. Найбільш практично важливими прикладами є поля раціональних та речових чисел.
Найменше загальне кратне (НОК) двох цілих чисел m і n є найменше натуральне число, яке ділиться на m і n без залишку. Позначається одним із таких способів.
У математиці вільна абелева група (вільний Z-модуль) — це абелева група, має базис, тобто таке підмножина елементів групи, що з будь-якого її елемента існує єдине його у вигляді лінійної комбінації базисних елементів із цілими коефіцієнтами, у тому числі лише кінцеве число є ненульовими. Елементи вільної абелевої групи з базисом B називають також формальними сумами над B. Вільні абелеви групи та формальні суми використовуються в топології алгебри.
Згадки у літературі
Підраховуючи суму кубів, ми отримуємо 1, 9, 36, 100, 225 і т.д.- Числа, які є повними квадратами . Але це будь-які квадрати, а квадрати 1, 3, 6, 10, 15 тощо. буд. – Трикутних чисел! Ми вже знаємо, що вони за своєю суттю є сумами простих чисел, отже,
Пов'язані поняття (продовження)
Область значень (або безліч значень) функції – безліч, що складається зі всіх значень, які набуває функція.
Група класів ідеалів дедекіндового кільця – це, грубо кажучи, група, що дозволяє сказати, наскільки сильно в цьому кільці порушується властивість факторіальності. Ця група тривіальна тоді і лише тоді, коли дедекіндове кільце є факторіальним. Властивості дедекіндового кільця, що стосуються множення його елементів, тісно пов'язані з пристроєм цієї групи.
Кільце Евкліда — загальноалгебраїчне кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.
У математиці, нескоротний дріб (також наведений дріб) — дріб, який неможливо скоротити. Інакше кажучи, значення нескоротного дробу не допускає простішого уявлення у вигляді дробу. У разі звичайних дробів «простіше» означає: з меншим (але натуральним) знаменником.
Зворотний елемент – термін у загальній алгебрі, що узагальнює поняття зворотного числа (для множення) та протилежного числа (для додавання).
Площа плоскої фігури – адитивна числова характеристика фігури, що цілком належить одній площині. У найпростішому випадку, коли фігуру можна розбити на кінцеву множину одиничних квадратів, площа дорівнює числу квадратів.
Нерівність трикутника в геометрії, функціональному аналізі та суміжних дисциплінах – це одна з інтуїтивних властивостей відстані.
"Тоді і тільки тоді" – логічна зв'язка еквіваленції між твердженнями, що застосовується в логіці, математиці, філософії.Щоб бути еквіваленцією, зв'язка має бути ідентичною стандартному матеріальному умовному висловлюванню («тільки тоді» еквівалентно «якщо… то»), з'єднаному зі своєю протилежністю, звідки й назва зв'язки. У результаті істинність одного твердження вимагає такої ж істинності іншого, тобто або обидва вони істинні, або обидва помилкові. Можна сперечатися про те, чи передає вираз.
Прайморіал (англ. Primorial, іноді називається також «приморіал») – в теорії чисел функція над рядом натуральних чисел, схожа з функцією факторіалу, з різницею в тому, що прайморіал є послідовним добутком простих чисел, менших або рівних даному, тоді як факторіал є послідовним добутком усіх натуральних чисел, менших або рівних даному.
Однорідний багаточлен – багаточлен, всі одночлени якого мають однакову повну міру. Будь-яка форма алгебри є однорідним многочленом. Квадратична форма визначається однорідним багаточленом другого ступеня, бінарна форма – однорідним багаточленом будь-якого ступеня від двох змінних.
Ділимість – одне з основних понять арифметики та теорії чисел, пов'язане з операцією поділу. З погляду теорії множин, ділимість цілих чисел є ставленням, визначеним на багатьох цілих чисел.
Факторкільце – загальноалгебраїчна конструкція, що дозволяє поширити на випадок кілець конструкцію факторгрупи. Будь-яке кільце є групою по додаванню, тому можна розглянути її підгрупу та взяти факторгрупу. Однак для того, щоб на цій факторгрупі можна було коректно визначити множення, необхідно щоб вихідна підгрупа була замкнута щодо множення на довільні елементи кільця, тобто була ідеалом.
Часткова межа деякої послідовності — це межа однієї з її підпослідовностей, якщо вона існує. Для схожих числових послідовностей часткова межа збігається зі звичайною межею в силу єдиності останнього, однак у загальному випадку у довільної послідовності може бути від нуля до нескінченного числа різних часткових меж. При цьому якщо звичайна межа характеризує точку, до якої елементи послідовності наближаються зі зростанням номера, то.
Дедекіндовий перетин (або вузька щілина) – один із способів побудови дійсних чисел з раціональних.
Теорема косінусів – теорема евклідової геометрії, що узагальнює теорему Піфагора на довільні плоскі трикутники.
Передгільбертове простір – лінійний простір з певним на ньому скалярним твором.
У загальній алгебрі, термін кручення відноситься до елементів групи, що мають кінцевий порядок, або елементів модуля, що анулюється регулярним елементом кільця.
Характеристика (кільця чи поля) — числова величина, що використовується в загальній алгебрі для опису цих властивостей.
Числова послідовність (раніше в російськомовній математичній літературі зустрічався термін варіанту, що належить Ш. Мере) – це послідовність елементів числового простору.
Певний інтеграл – адитивний монотонний функціонал, заданий на множині пар, перша компонента яких є інтегрована функція або функціонал, а друга – область в множині завдання цієї функції (функціоналу).
Трикутна матриця — у лінійній алгебрі квадратна матриця, у якої всі елементи, що стоять нижче (або вище) головної діагоналі, дорівнюють нулю.
Система коріння (коренева система) в математиці – конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям.
Напівкільце – загальноалгебраїчна структура, схожа на кільце, але без вимоги існування протилежного до складу елемента.
Математична константа чи математична постійна — величина, значення якої змінюється; у цьому вона протилежна змінній. На відміну від фізичних постійних, математичні постійні визначені незалежно від будь-яких фізичних вимірів.
Ортогональний (ортонормований) базис – ортогональна (ортонормована) система елементів лінійного простору зі скалярним твором, що має властивість повноти.
Обсяг – це адитивна функція від множини (захід), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без суворого визначення щодо тел тривимірного евклідового простору.
Теореми про ізоморфізм в алгебрі – ряд теорем, що пов'язують поняття фактора, гомоморфізму та вкладеного об'єкта. Твердженням теорем є ізоморфізм певної пари груп, кілець, модулів, лінійних просторів, алгебр Лі або інших алгебраїчних структур (залежно від галузі застосування). Зазвичай налічують три теореми про ізоморфізм, звані Першою (також основна теорема про гомоморфізм), Другою та Третьою. Хоча подібні теореми досить легко випливають із визначення фактора та честь їх відкриття.
Одиничний коло – коло радіуса 1 на евклідовій площині (розглянутий зазвичай на комплексній площині); "ідіоматична" область в комплексному аналізі.
Внутрішній автоморфізм – це вид автоморфізму групи, визначений в термінах фіксованого елемента групи, що називається елементом, що сполучає. Формально, якщо G – група, а a – елемент групи G, то внутрішній автоморфізм, визначений елементом a – це відображення f з G в себе, визначений для всіх x з G за формулою.
Кільце багаточленів – кільце, утворене багаточленами від однієї або кількох змінних з коефіцієнтами з іншого кільця. Вивчення властивостей кілець багаточленів мало великий вплив на багато областей сучасної математики; можна навести приклади теореми Гільберта про базис, конструкцію поля розкладання та вивчення властивостей лінійних операторів.
Нейтральний елемент бінарної операції – елемент, який залишає будь-який інший елемент незмінним при застосуванні цієї бінарної операції до цих двох елементів.
Твір топологічних просторів – це топологічний простір, отриманий, як безліч, декартовим твором вихідних топологічних просторів, і з природною топологією, званої топологією твору або тихонівської топологією. Слово «природна» тут вживається у сенсі теорії категорій і означає, що ця топологія задовольняє певну універсальну властивість.
Цілком упорядкована множина – лінійно впорядкована множина M таке, що в будь-якому його непустому підмножині є мінімальний елемент, іншими словами, це фундована множина з лінійним порядком.
Теоретично чисел гладким числом називається ціле число, всі прості дільники якого малі.
Одночлен (також моном) — простий математичний вираз, насамперед аналізований і використовуваний в елементарній алгебрі, а саме, твір, що складається з числового множника та однієї або кількох змінних, взятих кожна негативно.
Трикутник Паскаля – нескінченна таблиця біноміальних коефіцієнтів, що має трикутну форму. У цьому трикутнику на вершині та з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі. Названо на честь Блеза Паскаля. Числа, що становлять трикутник Паскаля, виникають природним чином в алгебрі, комбінаториці, теорії ймовірностей, математичному аналізі, теорії чисел.
Комутант у загальній алгебрі – підсистема алгебр, що містять групову структуру (підгрупа, підкільце, у найбільш загальному випадку – підгрупа мультиоператорної групи), що показує ступінь некомутативності групової операції.
Афінний простір – математичний об'єкт (простір), що узагальнює деякі властивості евклідової геометрії. На відміну від векторного простору, афінний простір оперує з об'єктами одного, а двох типів: «векторами» і «точками».
Швидкість збіжності є основною характеристикою чисельних методів розв'язування рівнянь та оптимізації.
У лінійній алгебрі лінійна залежність – це властивість, яка може мати підмножину лінійного простору. При лінійній залежності існує нетривіальна лінійна комбінація елементів цієї множини, що дорівнює нульовому елементу. За відсутності такої комбінації, тобто коли коефіцієнти єдиної такої лінійної комбінації рівні нулю, безліч називається лінійно незалежним.
Сепарабельний простір (від лат.separabilis – відокремлений) – топологічний простір, в якому можна виділити лічильне всюди щільне підмножина.
У математиці (особливо теорії категорій), коммутативна діаграма — зображувана у наочному вигляді структура на кшталт графа, вершинами якої служать об'єкти певної категорії, а ребрами — морфізму. Комутативність означає, що для будь-яких обраних початкового і кінцевого об'єкта для з'єднують їх орієнтованих шляхів композиція відповідних шляхів морфізмів не залежатиме від вибору шляху.
Теоретично груп циклічна перестановка — це перестановка елементів деякої множини X, яка переставляє елементи деякої підмножини S множини X циклічним чином, зберігаючи дома інші елементи X (тобто. відображаючи в себе). Наприклад, перестановка , що переводить 1 в 3, 3 в 2, 2 в 4 і 4 в 1 є циклічною, в той час як перестановка, що перекладає 1 в 3, 3 в 1, 2 в 4 і 4 в 2 циклічною не є.
Границя безлічі A — безліч усіх точок, розташованих скільки завгодно близько як до точок у множині A, так і до точок поза множиною A.
Повний квадрат у математиці – це число, яке можна представити у вигляді квадрата деякого іншого числа. Дізнайтеся, як визначити повний квадрат і як його використовувати у різних математичних задачах.
Поняття повного квадрата є одним з основних математики і знаходить широке застосування в різних областях. В математичній термінології повним квадратом називається вираз, який може бути представлений у вигляді квадрата деякого виразу, тобто є квадратом деякого числа або виразу.
Простим прикладом повного квадрата є вираз x2, де x – змінна. У разі повним квадратом є квадрат змінної x.
Інший приклад повного квадрата – вираз (x + y) ^2. Тут (x + y) – сума двох змінних. Шляхом розкриття дужок можна побачити, що цей вираз може бути записаний як x^2 + 2xy + y^2, тобто є квадратом суми двох виразів x і y.
Вміння ідентифікувати та працювати з повними квадратами є основою для вирішення багатьох завдань та застосування різних методів у математиці, алгебрі та геометрії. Повні квадрати також знаходять застосування у фізиці, економіці та інших науках.
Вивчення повних квадратів дозволяє нам глибше зрозуміти та використовувати математичні закони та принципи. Вони дозволяють нам будувати складні моделі, передбачати результати та знаходити оптимальні рішення у різних ситуаціях. Повні квадрати є важливим інструментом, який допомагає нам краще зрозуміти і пояснити світ навколо нас.
Що таке повний квадрат у математиці?
Наприклад, число 16 є повним квадратом, тому що він може бути представлений у вигляді 4 * 4. А число 15 не є повним квадратом, тому що його неможливо уявити у вигляді добутку двох однакових цілих чисел.
Повні квадрати відіграють важливу роль у математиці, особливо в алгебрі та геометрії. Вони часто зустрічаються у різних завданнях та теоремах. Знання повних квадратів дозволяє вирішувати рівняння, знаходити коріння та проводити різні геометричні побудови.
Відео на тему:
Визначення повного квадрата
Іншими словами, повний квадрат – це квадратний тричлен, в якому всі члени мають рівні ступені і один із членів може бути записаний у вигляді квадрата якогось виразу.
Формальне визначення повного квадрата:
- Якщо є вираз виду a^2 + 2ab + b^2, де a і b — це будь-які числа чи змінні, це повним квадратом.
- Також вираз (a + b)^2 вважається повним квадратом, тому що його можна розкрити і отримати вираз a^2 + 2ab + b^2.
Приклади повних квадратів:
- x^2 + 6x + 9 – Повний квадрат, так як можна записати його у вигляді (x + 3) ^ 2.
- 4a^2 – 12ab + 9b^2 — також є повним квадратом, оскільки його можна подати у вигляді (2a – 3b) ^ 2.
Розуміння повних квадратів є важливим при вирішенні квадратних рівнянь, а також в інших галузях математики, таких як факторизація та перетворення алгебри.
Властивості повного квадрата
- Сума двох повних квадратів є повним квадратом. Наприклад, якщо ми маємо повні квадрати 4 і 9, їх сума 13 також є повним квадратом (3^2).
- Різниця двох повних квадратів може бути представлена у вигляді добутку двох множників. Наприклад, різниця повних квадратів 16 і 9 дорівнює 7 і може бути представлена як 4*4 – 3*3.
- Добуток двох повних квадратів також є повним квадратом. Наприклад, добуток повних квадратів 3 і 5 дорівнює 15, і він також є повним квадратом (3 * 5 = 15).
- Якщо ми маємо повний квадрат, то ми можемо знайти його корінь шляхом вилучення квадратного кореня з числа. Наприклад, корінь із повного квадрата 16 дорівнює 4.
Ці властивості повних квадратів допомагають вирішувати різні завдання і спрощувати висловлювання в математиці.
Приклади повного квадрата
Нижче наведено деякі приклади повних квадратів:
- 4 – це повний квадрат, тому що 2 * 2 = 4.
- 9 – це повний квадрат, тому що 3 * 3 = 9.
- 16 це повний квадрат, так як 4 * 4 = 16.
- 25 – це повний квадрат, тому що 5 * 5 = 25.
- 36 це повний квадрат, так як 6 * 6 = 36.
В усіх цих прикладах результат множення цілого числа він дає вихідне число, що є визначенням повного квадрата.
Формула повного квадрата
Формула повного квадрата має такий вигляд:
- Для виразу виду a2 + 2ab + b2, де a та b — будь-які числа, формула повного квадрата записується як (a + b)2.
- Для виразу виду a2 – 2ab + b2, формула повного квадрата записується як (a – b)2.
Формула повного квадрата використовується для різних завдань в алгебрі, включаючи розв'язання квадратних рівнянь та факторизацію квадратних виразів. Завдяки цій формулі можна легко і ефективно перетворювати квадратні вирази та спрощувати вирази алгебри.
Як знайти повний квадрат
Щоб знайти повний квадрат числа, потрібно звести це число в квадрат.
Наприклад, щоб знайти повний квадрат числа 4, потрібно звести його до квадрата:
4^2 = 4 * 4 = 16
Таким чином, повний квадрат числа 4 дорівнює 16.
Аналогічно, щоб знайти повний квадрат числа -5 потрібно звести його в квадрат:
(-5)^2 = -5 * -5 = 25
Отже, повний квадрат числа -5 дорівнює 25.
У загальному випадку повний квадрат числа a можна знайти за допомогою формули:
a^2 = a * a
Де a – число, для якого потрібно знайти повний квадрат.
Застосування повного квадрата в математиці
Одне із застосувань повного квадрата – у розв'язанні квадратних рівнянь. Квадратне рівняння має вигляд ax^2 + bx + c = 0, де a, b та c – коефіцієнти, а x – змінна. Для розв'язання таких рівнянь можна використати метод повного квадрата.
Метод повного квадрата полягає у приведенні квадратного рівняння до виду (x + p) ^ 2 = q, де p і q – деякі вирази.Після цього можна знайти значення x шляхом вилучення квадратного кореня з обох частин рівняння.
Інше застосування повного квадрата – в алгебрі та геометрії. В алгебрі повні квадрати використовуються для факторизації квадратних виразів та спрощення обчислень. У геометрії повні квадрати можуть бути використані для побудови та аналізу геометричних фігур.
Повні квадрати також знаходять застосування в теорії ймовірностей, чисельних методах та інших галузях математики. Знання та розуміння повних квадратів є важливим для вирішення різних завдань та покращення математичної грамотності.
Завдання на повний квадрат
Завдання 1:
Знайдіть найменше натуральне число, яке дає залишок 1 при розподілі на 4, залишок 2 при розподілі на 5 та залишок 3 при розподілі на 6.
Рішення:
Для вирішення цього завдання ми можемо використати метод китайської теореми про залишки. Отже, шукаємо таке число x, яке дає залишок 1 при розподілі на 4, залишок 2 при розподілі на 5 і залишок 3 при розподілі на 6. Оскільки x дає залишок 1 при розподілі на 4, воно може бути записане у вигляді: x = 4n + 1.
Підставимо цей вираз за умови залишку при розподілі на 5:
Спростимо це рівняння:
Тепер вирішимо це рівняння щодо n.
Поділимо обидві частини рівняння на 4:
Помножимо обидві частини рівняння на 4-1 (зворотне число для 4 за модулем 5):
Отже, n = 4.
Підставимо значення n = 4 у вираз x = 4n + 1:
Відповідь: найменше натуральне число, яке дає залишок 1 при розподілі на 4, залишок 2 при розподілі на 5 і залишок 3 при розподілі на 6 дорівнює 17.
Завдання 2:
Знайдіть двоцифрове число, яке є повним квадратом і закінчується на цифру 4.
Рішення:
Давайте переберемо всі двоцифрові числа, що закінчуються на цифру 4, і знайдемо серед них повні квадрати. Почнемо з числа 14 і збільшуватимемо його на 10, щоб отримати наступне чотиризначне число.
242 = 576. Це число є повним квадратом.
342 = 1156. Це не є повним квадратом.
442 = 1936. Це число є повним квадратом і закінчується цифрою 4.
Отже, шукане двоцифрове число дорівнює 44.
Завдання 3:
Знайдіть найбільше двоцифрове число, яке є повним квадратом.
Рішення:
Переберемо всі двоцифрові числа, починаючи з найбільшого, і знайдемо серед них повні квадрати. Почнемо з числа 99 і зменшуватимемо його на 1, щоб отримати наступне двозначне число.
992 = 9801. Це число є повним квадратом.
982=9604. Це число є повним квадратом.
Отже, найбільше двозначне число, яке є повним квадратом, дорівнює 98.
Питання-відповідь:
Що таке повний квадрат?
Повний квадрат в математиці – це вираз, який може бути представлений у вигляді квадрата бінома. Тобто це вираз, який можна розкласти на множники таким чином, що кожен множник повторюється двічі.
Як визначити, чи є числом повним квадратом?
Щоб визначити, чи є число повним квадратом, потрібно витягти квадратний корінь із цього числа і перевірити, чи отриманий результат є цілим числом. Якщо так, число є повним квадратом.
Які приклади повних квадратів можна навести?
Прикладами повних квадратів може бути такі числа, як 4 (2 * 2), 9 (3 * 3), 16 (4 * 4), 25 (5 * 5) тощо. Всі ці числа можуть бути представлені у вигляді біномного квадрата.
Яке значення мають повні квадрати математики?
Повні квадрати відіграють важливу роль у різних галузях математики. Вони використовуються, наприклад, у розв'язанні квадратних рівнянь та у побудові геометричних фігур. Крім того, повні квадрати мають широке застосування в алгебрі та теорії чисел.